Как правильно пишется слово не заострять?

Правильный вариант написания: не заострять
Именно такой вариант зафиксирован в орфографическом словаре.

Правило написания глагола с частицей «не»

Иногда путаница возникает при написании с «не» разных частей речи, когда имя существительное или прилагательное пишутся слитно, а глаголы и причастия пишутся раздельно:

Незнание закона не освобождает от ответственности. Незнайка на Луне. НО: Не знаю, что сказать. Не зная, где искать.
Незначительный проступок может испортить репутацию. НО: Не значит ничего.
Незабытый подвиг дедов остается в нашей памяти. НО: Не забыть былые времена. Не забывая о былом.

Поэтому первым делом определим часть речи. В нашем случае — это глагол (означает действие и отвечает на вопросы: «что делать?», «что сделать?»). Теперь обратимся к правилам, регламентирующим написание глаголов с частицей «не»:

Частица «не» с глаголами и глагольными формами пишется раздельно: не читать, не знать, не понимать, не увидеть.
Без «не» не употребляются глаголы: ненавидеть, негодовать, невзлюбить, несдобровать, нездоровиться, невзвидеть (свет), неводить (от слова невод, но не водить в значении вести), неметь, неволить, недужить, нежить(ся), неймётся и их словоформы. В данных словах глагол без «не» теряет смысл.
Слитно пишутся глаголы с приставкой «недо» в значении частичного, неполного действия: недоделать, недовесить, недооценивать. Будьте внимательны с глаголами, начинающимися на «до», в таких случаях возможно и слитное, и раздельное написание с «не». Например: Почему бы не допить чашу до дна? — Недоедали, недопивали, всё детям отдавали.

Таким образом, «не заострять» является единственным правильным вариантом в русском языке, иные способы написания данной фразы — неверны.

Примеры использования и цитаты с «не заострять»

Если я не смогу говорить лично, важно, не откладывая, подыскать надежное лицо. … Вы, Лорх, умрете, не позже как через два дня. Лорх вздрогнул так, что зазвенели…

«Борьба со смертью» — Грин Александр

В трезвом, тугом ремесле — вдохновенье и честь поэта: В глухонемом веществе заострять запредельную … Быть не частью, а всем; не с одной стороны, а с обеих.

«Доблесть поэта» — Волошин Максимилиан

Шесть спичек. I. Вечерело; шторм снизил давление, но волны еще не вернули тот свой живописный вид, какой настраивает нас покровительственно в отношении к морской стихии, когда, лежа на берегу, смотрим в их зеленую глубину.

«Шесть спичек» — Грин Александр