Как правильно пишется слово не возникнуть?

Правильный вариант написания: не возникнуть
Именно такой вариант зафиксирован в орфографическом словаре.

Правило написания глагола с частицей «не»

Иногда путаница возникает при написании с «не» разных частей речи, когда имя существительное или прилагательное пишутся слитно, а глаголы и причастия пишутся раздельно:

Незнание закона не освобождает от ответственности. Незнайка на Луне. НО: Не знаю, что сказать. Не зная, где искать.
Незначительный проступок может испортить репутацию. НО: Не значит ничего.
Незабытый подвиг дедов остается в нашей памяти. НО: Не забыть былые времена. Не забывая о былом.

Поэтому первым делом определим часть речи. В нашем случае — это глагол (означает действие и отвечает на вопросы: «что делать?», «что сделать?»). Теперь обратимся к правилам, регламентирующим написание глаголов с частицей «не»:

Частица «не» с глаголами и глагольными формами пишется раздельно: не читать, не знать, не понимать, не увидеть.
Без «не» не употребляются глаголы: ненавидеть, негодовать, невзлюбить, несдобровать, нездоровиться, невзвидеть (свет), неводить (от слова невод, но не водить в значении вести), неметь, неволить, недужить, нежить(ся), неймётся и их словоформы. В данных словах глагол без «не» теряет смысл.
Слитно пишутся глаголы с приставкой «недо» в значении частичного, неполного действия: недоделать, недовесить, недооценивать. Будьте внимательны с глаголами, начинающимися на «до», в таких случаях возможно и слитное, и раздельное написание с «не». Например: Почему бы не допить чашу до дна? — Недоедали, недопивали, всё детям отдавали.

Таким образом, «не возникнуть» является единственным правильным вариантом в русском языке, иные способы написания данной фразы — неверны.

Примеры использования и цитаты с «не возникнуть»

Как возникнуть может в этом круге Вдохновенно-светлая мечта? Но возникнет! … 3. Не понять мне, откуда, зачем… 4. Я — Фиделька, собачка нежная…

«Ты живешь безумно и погано…» — Сологуб Фёдор

— Не смейся, не смейся, батьку! — сказал наконец старший из них. … возникнуть только в тяжелый ХV век на полукочующем углу Европы, когда вся.

«Тарас Бульба» — Гоголь Николай

При таких рассуждениях невольно приходило ему на мысль: не оттого ли сей равнодушный хлад, обнимающий нынешний век, торговый, низкий расчет, ранняя притупленность еще не успевших развиться и возникнуть чувств.

«Рим (Отрывок)» — Гоголь Николай