Как правильно пишется слово не установить?

Правильный вариант написания: не установить
Именно такой вариант зафиксирован в орфографическом словаре.

Правило написания глагола с частицей «не»

Иногда путаница возникает при написании с «не» разных частей речи, когда имя существительное или прилагательное пишутся слитно, а глаголы и причастия пишутся раздельно:

Незнание закона не освобождает от ответственности. Незнайка на Луне. НО: Не знаю, что сказать. Не зная, где искать.
Незначительный проступок может испортить репутацию. НО: Не значит ничего.
Незабытый подвиг дедов остается в нашей памяти. НО: Не забыть былые времена. Не забывая о былом.

Поэтому первым делом определим часть речи. В нашем случае — это глагол (означает действие и отвечает на вопросы: «что делать?», «что сделать?»). Теперь обратимся к правилам, регламентирующим написание глаголов с частицей «не»:

Частица «не» с глаголами и глагольными формами пишется раздельно: не читать, не знать, не понимать, не увидеть.
Без «не» не употребляются глаголы: ненавидеть, негодовать, невзлюбить, несдобровать, нездоровиться, невзвидеть (свет), неводить (от слова невод, но не водить в значении вести), неметь, неволить, недужить, нежить(ся), неймётся и их словоформы. В данных словах глагол без «не» теряет смысл.
Слитно пишутся глаголы с приставкой «недо» в значении частичного, неполного действия: недоделать, недовесить, недооценивать. Будьте внимательны с глаголами, начинающимися на «до», в таких случаях возможно и слитное, и раздельное написание с «не». Например: Почему бы не допить чашу до дна? — Недоедали, недопивали, всё детям отдавали.

Таким образом, «не установить» является единственным правильным вариантом в русском языке, иные способы написания данной фразы — неверны.

Примеры использования и цитаты с «не установить»

Надо не сокрушаться об этом, а стараться установить в себе такую веру, в какую мы могли бы верить так же твердо, как верили наши отцы в свою.

Путь жизни — Толстой Л.Н. полное содержание онлайн

Путешествовал не только по благоустроенной Европе, но и дважды посещал дикие просторы Африки, где … Точное место захоронения поэта установить не удалось. Показать информацию об авторе Краткая справка об автореСкрыть…

произведения Гумилёва Николая Степановича

Много ли, мало ли прошло времени, галка, по отсутствию часов, установить не могла, но факт тот, что она проснулась, совсем еще не выспавшись, и потому недовольная. Разбудило ее ощущение человеческой близости.

«Что видела галка» — Андреев Леонид