Как правильно пишется слово не тяжелеть?

Правильный вариант написания: не тяжелеть
Именно такой вариант зафиксирован в орфографическом словаре.

Правило написания глагола с частицей «не»

Иногда путаница возникает при написании с «не» разных частей речи, когда имя существительное или прилагательное пишутся слитно, а глаголы и причастия пишутся раздельно:

Незнание закона не освобождает от ответственности. Незнайка на Луне. НО: Не знаю, что сказать. Не зная, где искать.
Незначительный проступок может испортить репутацию. НО: Не значит ничего.
Незабытый подвиг дедов остается в нашей памяти. НО: Не забыть былые времена. Не забывая о былом.

Поэтому первым делом определим часть речи. В нашем случае — это глагол (означает действие и отвечает на вопросы: «что делать?», «что сделать?»). Теперь обратимся к правилам, регламентирующим написание глаголов с частицей «не»:

Частица «не» с глаголами и глагольными формами пишется раздельно: не читать, не знать, не понимать, не увидеть.
Без «не» не употребляются глаголы: ненавидеть, негодовать, невзлюбить, несдобровать, нездоровиться, невзвидеть (свет), неводить (от слова невод, но не водить в значении вести), неметь, неволить, недужить, нежить(ся), неймётся и их словоформы. В данных словах глагол без «не» теряет смысл.
Слитно пишутся глаголы с приставкой «недо» в значении частичного, неполного действия: недоделать, недовесить, недооценивать. Будьте внимательны с глаголами, начинающимися на «до», в таких случаях возможно и слитное, и раздельное написание с «не». Например: Почему бы не допить чашу до дна? — Недоедали, недопивали, всё детям отдавали.

Таким образом, «не тяжелеть» является единственным правильным вариантом в русском языке, иные способы написания данной фразы — неверны.

Примеры использования и цитаты с «не тяжелеть»

— Да, если вам не тяжело. — Нет, мне тяжело молчать. Пейте ж чай. … Я не понял, что ей просто было тяжело, а мать была только отговорка.

«Крейцерова соната» — Толстой Лев

Не пугайтесь жестокого плана, Это не тяжелее, чем хруст ломаемых в теле костей, Я хочу предложить вам: Связать на заре Емельяна И отдать его в руки грозящих нам смертью властей. Ч у м а к о в. Как, Емельяна?

Пугачев — Есенин С.А. полное содержание онлайн

Нет, не навяжусь в меланхолишке черной, да и разговаривать не хочется. … много тяжелей. Айда, Маяковский! Маячь на юг! Сердце рифмами вымучь — вот и любви пришел каюк, дорогой Владим Владимыч. Нет, не старость этому имя!

«Юбилейное» — Маяковский Владимир