Как правильно пишется слово не сплетничать?

Правильный вариант написания: не сплетничать
Именно такой вариант зафиксирован в орфографическом словаре.

Правило написания глагола с частицей «не»

Иногда путаница возникает при написании с «не» разных частей речи, когда имя существительное или прилагательное пишутся слитно, а глаголы и причастия пишутся раздельно:

Незнание закона не освобождает от ответственности. Незнайка на Луне. НО: Не знаю, что сказать. Не зная, где искать.
Незначительный проступок может испортить репутацию. НО: Не значит ничего.
Незабытый подвиг дедов остается в нашей памяти. НО: Не забыть былые времена. Не забывая о былом.

Поэтому первым делом определим часть речи. В нашем случае — это глагол (означает действие и отвечает на вопросы: «что делать?», «что сделать?»). Теперь обратимся к правилам, регламентирующим написание глаголов с частицей «не»:

Частица «не» с глаголами и глагольными формами пишется раздельно: не читать, не знать, не понимать, не увидеть.
Без «не» не употребляются глаголы: ненавидеть, негодовать, невзлюбить, несдобровать, нездоровиться, невзвидеть (свет), неводить (от слова невод, но не водить в значении вести), неметь, неволить, недужить, нежить(ся), неймётся и их словоформы. В данных словах глагол без «не» теряет смысл.
Слитно пишутся глаголы с приставкой «недо» в значении частичного, неполного действия: недоделать, недовесить, недооценивать. Будьте внимательны с глаголами, начинающимися на «до», в таких случаях возможно и слитное, и раздельное написание с «не». Например: Почему бы не допить чашу до дна? — Недоедали, недопивали, всё детям отдавали.

Таким образом, «не сплетничать» является единственным правильным вариантом в русском языке, иные способы написания данной фразы — неверны.

Примеры использования и цитаты с «не сплетничать»

и не пьет. Лишь одна. любовь. рекой залила и в бездну клонит — любит этакой серьгой повисеть на телефоне. Фарширован. сплетен. кормом, он вприпрыжку

«Сплетник» — Маяковский Владимир

Но в ней не град первопрестольный, Не золоченые главы, Не гул потехи колокольной, Не сплетни вестницы-молвы Мой ум пленили своевольный. Я в ней люблю весельчаков, Люблю роскошное довольство Их продолжительных…

Пиры — Баратынский Е.А. полное содержание онлайн

Сплетничать не сплетничать, а и скрывать не вижу никакой надобности. Виталий Петрович не любит, когда о нем неучтиво отзываются; он вас за это не похвалит. Барбарисов. Я извинюсь, я извинюсь. Меня все извиняют. Что делать?

«Не от мира сего» — Островский Александр