Как правильно пишется слово не просить?

Правильный вариант написания: не просить
Именно такой вариант зафиксирован в орфографическом словаре.

Правило написания глагола с частицей «не»

Иногда путаница возникает при написании с «не» разных частей речи, когда имя существительное или прилагательное пишутся слитно, а глаголы и причастия пишутся раздельно:

Незнание закона не освобождает от ответственности. Незнайка на Луне. НО: Не знаю, что сказать. Не зная, где искать.
Незначительный проступок может испортить репутацию. НО: Не значит ничего.
Незабытый подвиг дедов остается в нашей памяти. НО: Не забыть былые времена. Не забывая о былом.

Поэтому первым делом определим часть речи. В нашем случае — это глагол (означает действие и отвечает на вопросы: «что делать?», «что сделать?»). Теперь обратимся к правилам, регламентирующим написание глаголов с частицей «не»:

Частица «не» с глаголами и глагольными формами пишется раздельно: не читать, не знать, не понимать, не увидеть.
Без «не» не употребляются глаголы: ненавидеть, негодовать, невзлюбить, несдобровать, нездоровиться, невзвидеть (свет), неводить (от слова невод, но не водить в значении вести), неметь, неволить, недужить, нежить(ся), неймётся и их словоформы. В данных словах глагол без «не» теряет смысл.
Слитно пишутся глаголы с приставкой «недо» в значении частичного, неполного действия: недоделать, недовесить, недооценивать. Будьте внимательны с глаголами, начинающимися на «до», в таких случаях возможно и слитное, и раздельное написание с «не». Например: Почему бы не допить чашу до дна? — Недоедали, недопивали, всё детям отдавали.

Таким образом, «не просить» является единственным правильным вариантом в русском языке, иные способы написания данной фразы — неверны.

Примеры использования и цитаты с «не просить»

Быть может, оба мы страдать И не просить успокоенья Равно привыкли — и забвенье, А не блаженство понимать. Да, это так: я слышал в них…

«А. Е. Варламову» — Григорьев Аполлон

Почему ты не хочешь дать сразу много, чтобы ей не просить часто? Ведь это унизительно — просить, разве ты не понимаешь? Яков (смущён).

«Последние» — Горький Максим

Помещик Русов не любил дремать. Служил в гусарах, ротмистра дождался, Женился по любви лет в сорок пять И всей душой к … Другого счастья и просить не смею.» 40. Задумалась Наташа под окном; За рощею румяный день уходит.

«Две липки» — Фет Афанасий