Правильный вариант написания слова: Довеку, редко встречается — До веку
Правило
Правописание зависит от части речи. В данном случае стоит сначала определить это наречие или имя существительное с предлогом.
Пишутся слитно наречия, имеющие значение обстоятельства места или времени и образованные от существительных верх, низ, перёд, зад, высь, даль, ширь, глубь, век, начало. Предлог с именем существительным пишется раздельно.
Наречия обстоятельства места отвечают на вопросы: «куда?», «где?», «откуда?»
Ехать (куда?) далеко;
Прибыл (откуда) издалека;
Живу (где?) поблизости.
Наречия обстоятельства времени отвечают на вопросы: «когда?», «как долго?», «с каких пор?», «с какого времени:», «до какого времени?», «до каких пор?»
Смотрели (когда?) намедни (недавно);
Изложим (как долго?) вкратце;
Читаю (с каких пор?) спозаранку;
Наполнить (до каких пор?) дополна.
Чтобы отличить наречие с приставкой от похожего сочетания предлога с существительным, надо иметь в виду, что существитетельное часто может иметь при себе пояснительное слово, а наречие не имеет, например:
Вдали (наречие) назойливо играл пастух — В дали (имя существительное с предлогом) голубой столбом уж крутился песок золотой.
Он бежит, летит наверх (наречие) по шатким ступеням. — Наш витязь спешит на верх (имя существительное с предлогом) горы крутой.
Дополнительная подсказка для определения наречия. Наречие часто можно заменить на синонимическое наречие без потери смысла. Вдали — далеко, назад — обратно, наверх — вверх.
Морфологический разбор слова Довеку
1. Часть речи — наречие
2. Морфологические признаки:
неизменяемое слово;
3. Синтаксическая роль: обстоятельство
Ударение и состав слова
Ударение падает на 1-й слог с буквой о.
Всего в слове 6 букв, 3 гласных, 3 согласных, 3 слога.
Примеры использования и цитаты
Часть эту я нашел только в русских заговорах». Она чаще всего выражается формулами: и слова мои крепки, будьте слова мои крепки и лепки довеку; нет моим словам переговора и недоговора; будь ты, мой приговор, крепче…
«Выйди в поле полночное…» — Сологуб Фёдор
Не довеку белеется Туманная гряда, Рассеется, развеется, А горе никогда! [1856]. x x x. Колышется море; волна за волной Бегут и шумят торопливо…
«Выйди в поле полночное…» — Сологуб Фёдор